小学奥数“鸡兔同笼”问题的几种解法

小学奥数“鸡兔同笼”问题的几种解法

　　鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。以下是小编整理的小学奥数“鸡兔同笼”问题的几种解法，希望对大家有所帮助。

　　小学奥数“鸡兔同笼”问题的几种解法

　　“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的典型数学趣题之一，最早出现在《孙子算经》中。其大意是说：笼子里有鸡和兔若干，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只?

　　我们现在把数量变小一点：笼子里有鸡和兔若干，从上面数，有12个头，从下面数，有38只脚。鸡和兔各有几只?

　　先让孩子明确几个名称：每只兔有4只脚，脚只数要多一些，我们把它(兔)定为“多”量;每只鸡只有2只脚，脚只数要少一些，我们把它(鸡)定为“少”量;每只兔比每只鸡多2只脚(4-2)，我们把它(4-2)定为“差”。

　　一、猜测法

　　先猜测，再验证，逐一排除，这种方法实用性不大。

　　二、列举法

　　列举法可一一列举、跳跃列举，也可对半列举，关键在于逐步调整，以达到题意的要求，操作时若数据较大时过程颇为繁琐，比较费时，目的性也不强，在此不加赘述。

　　三、假设法

　　假设法也就是先假设全部是其中的某一种(鸡或兔)，算出脚的只数，看比实际脚的总只数是多了还是少了，由于一只兔比一只鸡多(4-2)只脚，再用多余或不足的脚只数除以“差”(4-2)就是另一种的只数。具体算法是：

　　1、假设全部都是“多”量(兔)：

　　多余的脚只数÷“差”=“少”量(鸡)

　　例如，假设全部都是兔，就有脚4×12=48(只)，比实际脚的总只数多出了48-38=10(只)，则鸡有10÷(4-2)=5(只)。兔的只数就是12-5=7(只)。

　　2、假设全部都是“少”量(鸡)：

　　不足的脚只数÷“差”=“多”量(兔)

　　例如，假设全部都是鸡，就有脚2×12=24(只)，比实际脚的总只数少了38-24=14(只)，则兔有14÷(4-2)=7(只)。鸡的只数就是12-7=5(只)。

　　四、方程法

　　方程法是最适用，也是最具一般性的解答方法，这种方法思路清晰，易于理解。具体方法是：设甲有x只，则乙有a-x只。根据等量关系“鸡脚总数+兔脚总数=脚的总只数”就可列出方程进行解答。

　　如：

　　1、解：设鸡有x只，则兔有12-x只。

　　2x+4×(12-x)=38

　　x =5

　　兔有12-5=7(只)。

　　2、解：设兔有x只，则鸡有12-x只。

　　4x+2×(12-x)=38

　　x =7

　　鸡有12-7=5(只)。

　　在方程法中，为了避免像方法1的解方程过程中出现“2x+48-4x=38 ”小学生应用现在小学知识还难以理解的知识问题，在帮助学生理解后，可建议学生像方法2那样设“多”的(兔)为x，就可避免出现像“2x-4x”这样的问题。

　　五、“抬腿法”(减半法)

　　“抬腿法”是我们的祖先解决“鸡兔同笼”问题的经典方法，体现了我们祖先的聪明才智。其算理是：假如每只鸡都抬起一条腿(“金鸡独立”)，同时每只兔也都抬起两条腿(蹲着)，各抬起一半腿，则总腿数减半，此时一只鸡一条腿，而有一只兔就多一条腿，所以腿总数÷2-头数=“多”量(兔)

　　如上面例题，38÷2=19(只)，19-12=7(只)(兔)。

　　孩子一尝试，可能很快就会发现这种方法最简便、快捷，但在以后的训练中要让学生体会到，“抬腿法”仅适用于典型的“鸡兔同笼”问题(或“龟鹤问题”)，而对于植树、租船等“鸡兔同笼”的变式问题并不通用。所以“抬腿法”具有一定的局限性。

　　六、对半分法

　　据我对“鸡兔同笼”问题的理解，用“对半分法”来解决“鸡兔同笼”问题也很适用。先假设鸡和兔(即“多”量和“少”量)各占一半，算出此时脚的全部只数，如果超过脚的总只数，说明“多”量(兔)多了，如果不够脚的总只数，说明“多”量(兔)少了;再用超过或不足部分除以脚只数“差”(4-2)就是兔多出或少的只数，然后用“一半”减去或加上多出或少的只数，就是兔的只数。

　　如上面例题，先假设各有12÷2=6(只)，此时共有脚4×6+2×6=36(只)，不足总数38只，说明兔少了，少了(38-36)÷(4-2)=1(只)，所以兔有6+1=7(只)。同理，鸡有6-1=5(只)。

　　再如前面“鸡兔同笼”的原题：有35个头，共94只脚。先假设各有35÷2=17.5(只)，此时共有脚4×17.5+2×17.5=105(只)，超过总数94只，说明兔多了，多了(105-94)÷(4-2)=5.5(只)，所以兔有17.5-5.5=12(只)。同理，鸡有17.5+5.5=23(只)。

　　“鸡兔同笼”问题的解题方法有多种，孩子进入中学后，随着知识面的扩展，将会学到其它不同的解法。

　　奥数题“鸡兔同笼”新解法

　　1、同一个笼子里养着鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？

　　解决“鸡兔同笼”的常用方法有以下几种：画图法、列表法、假设法、方程法，今天我向你们推荐一种新的解题方法：“抬腿法”。

　　解析：我们设想一下，笼子里的鸡和兔子都非常听话，你吹一次口哨，每只鸡和兔子就抬起一条腿，你一共吹两次口哨，鸡和兔子都抬起两条腿，这时，鸡坐在地上，兔子像人一样有两条腿站着，地上只有244-88×2=68条腿，都是兔子的腿，每只兔子都有两条腿，共有68÷2=34只兔子，

　　有鸡88-34=54只。

　　2、“鸡兔同笼”，鸡、兔共有107只，兔子的脚数比鸡的脚数多56只，问：鸡、兔各有多少只？

　　解析：学生做这道题时常用方程来解决，今天，我向你们推荐一种方法：“补脚法”。

　　因为鸡的脚比兔子的脚少56只，如果把鸡的脚补上56只的话，那么就要增加56÷2=28（只）鸡，这样，鸡、兔共有107+28=135（只），鸡脚、兔脚一样多，鸡的只数就是兔子的2倍。

　　兔：135÷（2+1）=45（只）

　　鸡：135－45－28=62（只）

　　3、鸡兔同笼，鸡比兔多12只，共有脚114只，求鸡、兔各有几只？

　　解析：解决这道题，我们可以用“补头法”。

　　因为鸡比兔子多12只，如果把兔子补上12个头的话，就要多出12×4=48条腿，这样一共有114+48=162条腿，鸡头和兔头一样多，我们把一只鸡和一只兔子两个一组分开，每组里共有脚6只，一共可以分162÷6=27组，就有27只鸡，兔子有27-12=15只。

　　“鸡兔同笼”问题的解法

　　一、假设法

　　假设法又可分为几种，一种是假设笼子中全部都是鸡，一种是假设笼子中全部都是兔，还有一种就是《孙子算经》中所用的抬腿法（也就是假设所有的鸡和兔都抬起一只腿）。

　　1、假设笼子中的动物全部都是鸡

　　因为每只鸡有2只脚，地上的脚的总数应该就是35 × 2 = 70只；但实际上脚的总数并不是70，而是94，多出了94 - 70 = 24只脚。

　　为什么会多出24只脚呢？

　　因为笼子中除了鸡外，还有兔子，每只兔子有4只脚，比每只鸡要多2只脚，现在总共多了24只脚，要多少兔子才能比鸡多24只脚呢？我们就要用多出的这24只脚除以每只兔子比鸡多出的2只脚，24 ÷ 2 = 12只，也就是说，笼子中兔子的数量就是12只。

　　鸡的数量就等于总数量35只减去兔子的数量12只，35 - 12= 23只。

　　现在我们来检查一下计算的结果，用兔子的数量乘以每只兔子有4只脚，加上鸡的数量乘以每只鸡的2只脚，看看脚的总数是不是94只。

　　12 × 4 + 23 × 2 = 48 + 46 = 94

　　结果吻合，说明我们的计算是正确的。

　　2、假设笼子中的动物全部都是兔子

　　因为每只兔子有4只脚，所以，脚的总数应该是35 × 4 = 140只，但实际上脚的总数只有94只，实际比假设的情况，少了140 - 94 = 46只脚。

　　为什么会少46只脚？

　　因为笼子中并不全都是兔子，还有鸡，每只鸡只有2只脚，比兔子的4只脚要少2只脚，现在总共少了46只脚，要多少只鸡才能少46只脚呢？我们就要用少的这46只脚除以每只鸡比兔子少的2只脚，46 ÷ 2 = 23只，也就是说，笼子中鸡的数量是23只。

　　3、抬腿法

　　这种方法与第一种假设法的原理是一样的，在教材中也有详细的讲解，这里就不再讲解。

　　二、方程解法

　　我们再来看方程解法，方程也有两种解法，可以用小学五年级的一元一次方程来解，也可以用初中的二元一次方程组来解，这里我们着重讲一元一次方程的解法。

　　这道题需要求两个未知数，分别是兔子的数量与鸡的数量，我们可以设其中任意一个未知数为X。

　　1、设鸡的数量为X

　　则兔子的数量为35-X

　　每只鸡有2只脚，鸡脚的总数可表示为2X

　　每只兔有4只脚，兔脚的总数可表示为(35-X)x4

　　所有脚的总数可表示为2X+(35-X)x4

　　因为脚的总数为94只

　　所以2X+(35-X)x4=94

　　2X+140-4X=94

　　2X=140-94

　　2X=46

　　X=23

　　鸡的数量为23只。

　　兔的数量为35-23=12只。

　　2、二元一次方程组

　　具体解法是：设鸡的总数为X，兔的总数为Y。

　　X + Y = 35 2X + 4Y = 94

　　X = 35 - Y 2(35 - Y) + 4Y = 94

　　70 - 2Y + 4Y = 94

　　70 + 2Y = 94

　　2Y = 24

　　Y = 12

　　X = 35 - 12

　　X = 23

　　最终解出来的结果就是，X = 23，Y = 12。