抛物线方程二次函数(抛物线方程二次项系数)

这是抛物线方程二次函数，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

抛物线方程二次函数第1篇

一、定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大），则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

二、二次函数的三种表达式

一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)²+k[抛物线的顶点P（h，k）]

交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A（x?，0）和B（x?，0）的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

h=-b/2a

k=(4ac-b²)/4a

x?,x?=(-b±√b²-4ac)/2a

三、二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

四、抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。

2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b²)/4a)。

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b²-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）。

6.抛物线与x轴交点个数：

Δ=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数（x=-b±√b²－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

五、二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c。

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax²+bx+c=0。

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同。

它们的顶点坐标及对称轴如下表：

当h>0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到。

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。

当h>0，k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象。

当h>0，k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。

当h<0，k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。

因此，研究抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)²+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b²]/4a)．

3.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小．

4.抛物线y=ax²+bx+c的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?|。

当△=0．图象与x轴只有一个交点；当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

5.抛物线y=ax²+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b²)/4a．

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

6.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0)．

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)．

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．

7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现

抛物线方程二次函数第2篇

【学习目标】

1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；

2.会求抛物线与 x 轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；

3.学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．

【知识点梳理】

1、二次函数与一元二次方程的关系

① 二次函数图象与 x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况

求二次函数 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 的图象与 x 轴的交点坐标，就是令 y＝0，求 x 的值的问题．

此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与 x 轴的交点的个数，

它们的关系如下表：

二次函数讲义（四）

注：

二次函数讲义（四）

② 抛物线与直线的交点问题

抛物线与 x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．

我们把它延伸到求抛物线 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 与 y 轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．

⑴ 抛物线 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 与 y 轴的交点是 ( 0，c )．

⑵ 抛物线 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 与一次函数 y = kx + b1 ( k ≠ 0 ) 的交点个数由方程组

二次函数讲义（四）

a.当方程组有两组不同的解时 ↔ 两函数图象有两个交点；

b. 当方程组有两组相同的解时 ↔ 两函数图象只有一个交点；

c. 当方程组无解时 ↔ 两函数图象没有交点．

总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程 ( 组 ) 的解的问题．

注：

求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者

将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．

2、抛物线与 x 轴的两个交点之间的距离公式

二次函数讲义（四）

3、抛物线与不等式的关系

二次函数讲义（四）

注：

抛物线 y = ax2 + bx + c 在 x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，

所对应的 x 的所有值就是不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集；

在 x 轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的 x 的所有值就是不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集．

不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．

【典型例题】

类型一、二次函数图象与坐标轴交点

【例题1】

二次函数讲义（四）

【答案与解析】

二次函数讲义（四）

注：

根据抛物线与 x 轴的交点个数可确定字母系数的取值范围，其方法是根据抛物线与 x 轴的交点个数，

推出△ 值的性质，即列出关于字母系数的方程(或不等式)，通过方程(或不等式)求解．

特别提醒：易忽视二次项系数 2(k+1) ≠ 0 这一隐含条件．

类型二、二次函数与一元二次方程的综合运用

【例题2】

二次函数讲义（四）

【答案与解析】

抛物线方程二次函数第3篇

　　二次函数抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )

　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

　　可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

　　事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于（0，c）

　　6.抛物线与x轴交点个数

　　Δ= b^2;-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　Δ= b^2;-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　_______

　　Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

　　当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b?/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变

　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)

　　7.特殊值的形式

　　①当x=１时 y=a+b+c

　　②当x=-1时 y=a-b+c

　　③当x=2时 y=4a+2b+c

　　④当x=-2时 y=4a-2b+c

　　8.定义域：R

　　值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）

　　奇偶性：偶函数

　　周期性：无

　　解析式：

　　①y=ax^2+bx+c[一般式]

　　⑴a≠0

　　⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；

　　⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；

　　⑷Δ=b^2-4ac,

　　Δ＞0，图象与x轴交于两点：

　　（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

　　Δ＝0，图象与x轴交于一点：

　　（-b/2a，0）；

　　Δ＜0，图象与x轴无交点；

　　②y=a(x-h)^2+k[顶点式]

　　此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；

　　③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）

　　对称轴X=(X1-X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小

　　此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。