复数常用公式(复数常用公式大全)

这是复数常用公式，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

复数常用公式第 1 篇

复数的运算公式是由实数法则迁移而成的，满足平方差公式，只是复数分实部和虚部两块来算。

（1）加法运算

设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和：（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i。

（2）乘法运算

设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则：（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i。

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

（3）除法运算

复数除法定义：满足（c+di）（x+yi）=（a+bi）的复数x+yi（x，y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商。

任意复数表示成z=a+bi若a=ρcosθ,b=ρsinθ,即可将复数在一个平面上表示成一个向量，ρ为向量长度（复数中称为模）,θ为向量角度（复数中称为辐角）。

z=ρcosθ+ρsinθ=ρe^[i(2kπ+θ)z^(1/n)=ρ^(1/n)*e^[i(2kπ+θ)/n]k取0到n-1注：必须要掌握的内容是，转化成三角形式以及欧拉公式.开二次方也可以用一般解方程的方法a+bi=(x+yi)^2。

复数常用公式第 2 篇

教学目标

(1)掌握向量的有关概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量;

(2)理解并掌握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系;

(3)掌握复数的模的定义及其几何意义;

(4)通过学习复数的向量表示，培养学生的数形结合的数学思想;

(5)通过本节内容的学习，培养学生的观察能力、分析能力，帮助学生逐步形成科学的思维习惯和方法.

教学建议

一、知识结构

本节内容首先从物理中所遇到的一些矢量出发引出向量的概念，介绍了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接着介绍了复数集与复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系，指出了复数的模的定义及其计算公式.

二、重点、难点分析

本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解;难点是复数模的概念.复数可以用向量表示，二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的向量的集合一一对应关系，而不能说与复平面内的向量一一对应，对这一点的理解要加以重视.在复数向量的表示中，从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之间的一一对应关系是本节教学的难点.复数模的概念是一个难点，首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质，其次要理解它的几何意义是表示向量的长度，也就是复平面上的点到原点的距离.

三、教学建议

1.在学习新课之前一定要复习旧知识，包括实数的绝对值及几何意义，复数的有关概念、现行高中物理课本中的有关矢量知识等，特别是对于基础较差的学生，这一环节不可忽视.

2.理解并掌握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系

如图所示，建立复平面以后，复数与复平面内的点形成—一对应关系，而点又与复平面的向量构成—一对应关系.因此，复数集与复平面的以为起点，以为终点的向量集形成—一对应关系.因此，我们常把复数说成点Z或说成向量.点、向量是复数的另外两种表示形式，它们都是复数的几何表示.

相等的向量对应的是同一个复数，复平面内与向量相等的向量有无穷多个，所以复数集不能与复平面上所有的向量相成—一对应关系.复数集只能与复平面上以原点为起点的向量集合构成—一对应关系.

2.

这种对应关系的建立，为我们用解析几何方法解决复数问题，或用复数方法解决几何问题创造了条件.

3.向量的模，又叫向量的绝对值，也就是其有向线段的长度.它的计算公式是，当实部为零时，根据上面复数的模的公式与以前关于实数绝对值及算术平方根的规定一致.这些内容必须使学生在理解的基础上牢固地掌握.

4.讲解教材第182页上例2的第(1)小题建议.在讲解教材第182页上例2的第(1)小题时.如果结合提问的图形，可以帮助学生正确理解教材中的“圆”是指曲线而不是指圆面(曲线所包围的平面部分).对于倒2的第(2)小题的图形，画图时周界(两个同心圆)都应画成虚线.

5.讲解复数的模.讲复数的模的定义和计算公式时，要注意与向量的有关知识联系，结合复数与复平面内以原点为起点，以复数所对应的点为终点的向量之间的一一对应关系，使学生在理解的基础上记忆。向量的模，又叫做向量的绝对值，也就是有向线段OZ的长度.它也叫做复数的模或绝对值.它的计算公式是.

教学设计示例

复数的向量表示

教学目的

1掌握复数的向量表示，复数模的概念及求法，复数模的几何意义.

2通过数形结合研究复数.

3培养学生辩证唯物主义思想.

重点难点

复数向量的表示及复数模的概念.

教学学具

投影仪

教学过程

1复习提问：向量的概念;模;复平面.

2新课：

一、复数的向量表示：

在复平面内以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量OZ，由点Z(a，b)唯一确定.

因此复平面内的点集与复数集C之间存在一一对应关系，而复平面内的点集与以原点为起点的向量一一对应.

常把复数z=a+bi说成点Z(a，b)或说成向量OZ，并规定相等向量表示同一复数.

二、复数的模

向量OZ的模(即有向线段OZ的长度)叫做复数z=a+bi的模(或绝对值)记作|Z|或|a+bi|

|Z|=|a+bi|=a+b

例1求复数z1=3+4i及z2=-1+2i的模，并比较它们的大小.

解：|Z1|2=32+42=25|Z2|2=(-1)2+22=5

|Z1|>|Z2|

练习：1已知z1=1+3iz2=-2iZ3=4Z4=-1+2i

⑴在复平面内，描出表示这些向量的点，画出向量.

⑵计算它们的模.

三、复数模的几何意义

复数Z=a+bi，当b=0时z∈R|Z|=|a|即a在实数意义上的绝对值复数模可看作点Z(a，b)到原点的距离.

例2设Z∈C满足下列条件的点Z的集合是什么图形?

⑴|Z|=4⑵2≤|Z|<4

解：(略)

练习：⑴模等于4的虚数在复平面内的点集.

⑵比较复数z1=-5+12iz2=―6―6i的模的大小.

⑶已知：|Z|=|x+yi|=1求表示复数x+yi的点的轨迹.

教学后记：

板书设计：

一、复数的向量表示：三、复数模的几何意义

二、复数的模例2

例1

探究活动

已知要使，还要增加什么条件?

解：要使，即由此可知，点到两个定点和的距离之和为6，如把看成动点，则它的轨迹是椭圆.

因此，所要增加的条件是：点应满足条件.

说明此题是属于缺少条件的探索性问题，解决这类问题的一般做法是从结论出发，并采用逆推的方法得出终结的结论，便理所求的条件.

复数常用公式第 3 篇

教学目标

(1)把握复数加法与减法运算法则,能熟练地进行加、减法运算;

(2)理解并把握复数加法与减法的几何意义,会用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题;

(3)能初步运用复平面两点间的距离公式解决有关问题;

(4)通过学习平行四边形法则和三角形法,培养学生的数形结合的数学思想;

(5)通过本节内容的学习,培养学生良好思维品质(思维的严谨性,深刻性,灵活性等).

教学建议

一、知识结构

二、重点、难点分析

本节的重点是复数加法法则。难点是复数加减法的几何意义。复数加法法则是教材首先规定的法则,它是复数加减法运算的基础,对于这个规定的合理性,在教学过程中要加以重视。复数加减法的几何意义的难点在于复数加减法转化为向量加减法,以它为根据来解决某些平面图形的问题,学生对这一点不轻易接受。

三、教学建议

(1)在复数的加法与减法中,重点是加法.教材首先规定了复数的加法法则.对于这个规定,应通过下面几个方面,使学生逐步理解这个规定的合理性:①当 时,与实数加法法则一致;②验证实数加法运算律在复数集中仍然成立;③符合向量加法的平行四边形法则.

(2)复数加法的向量运算讲解设 ,画出向量 , 后,提问向量加法的平行四边形法则,并让学生自己画出和向量(即合向量) ,画出向量 后,问与它对应的复数是什么,即求点Z的坐标OR与RZ(证法如教材所示).

(3)向学生介绍复数加法的三角形法则.讲过复数加法可按向量加法的平行四边形法则来进行后,可以指出向量加法还可按三角形法则来进行:如教材中图8-5(2)所示,求 与 的和,可以看作是求 与 的和.这时先画出第一个向量 ,再以 的终点为起点画出第二个向量 ,那么,由第一个向量起点O指向第二个向量终点Z的向量 ,就是这两个向量的和向量.

(4)向学生指出复数加法的三角形法则的好处.向学生介绍一下向量加法的三角形法则是有好处的:例如讲到当 与 在同一直线上时,求它们的和,用三角形法则来解释,可能比“画一个压扁的平行四边形”来解释轻易理解一些;讲复数减法的几何意义时,用三角形法则也较平行四边形法则更为方便.

(5)讲解了教材例2后,应强调 (注重:这里 是起点, 是终点)就是同复数 - 对应的向量.点 , 之间的距离 就是向量 的模,也就是复数 - 的模,即 .

例如,起点对应复数-1、终点对应复数 的那个向量(如图),可用 来表示.因而点 与 ( )点间的距离就是复数 的模,它等于 。

教学设计示例

复数的减法及其几何意义

教学目标

1.理解并把握复数减法法则和它的几何意义.

2.渗透转化,数形结合等数学思想和方法,提高分析、解决问题能力.

3.培养学生良好思维品质(思维的严谨性,深刻性,灵活性等).

教学重点和难点

重点:复数减法法则.

难点:对复数减法几何意义理解和应用.

教学过程设计

(一)引入新课

上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义,今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义.(板书课题:复数减法及其几何意义)

(二)复数减法

复数减法是加法逆运算,那么复数减法法则为( i)( i)=( ) ( )i,

1.复数减法法则

(1)规定:复数减法是加法逆运算;

(2)法则:( i)( i)=( ) ( )i( , , , ∈R).

把( i)( i)看成( i) (1)( i)如何推导这个法则.

( i)( i)=( i) (1)( i)=( i) ( i)=( ) ( )i.

推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算.

推导:设( i)( i)= i( , ∈R).即复数 i为复数 i减去复数 i的差.由规定,得( i) ( i)= i,依据加法法则,得( ) ( )i= i,依据复数相等定义,得

故( i)( i)=( ) ( )i.这样推导每一步都有合理依据.

我们得到了复数减法法则,两个复数的差仍是复数.是确定的复数.

复数的加(减)法与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部,虚部与虚部分别相加(减),即( i)±( i)=( ± ) ( ± )i.

(三)复数减法几何意义

我们有了做复数减法的依据——复数减法法则,那么复数减法的几何意义是什么?

设z= i( , ∈R),z1= i( , ∈R),对应向量分别为 , 如图

由于复数减法是加法的逆运算,设z=( ) ( )i,所以zz1=z2,z2 z1=z,由复数加法几何意义,以 为一条对角线, 1为一条边画平行四边形,那么这个平行四边形的另一边 2所表示的向量OZ2就与复数zz1的差( ) ( )i对应,如图.

在这个平行四边形中与zz1差对应的向量是只有向量 2吗?

还有 . 因为OZ2 Z1Z,所以向量 ,也与zz1差对应.向量 是以Z1为起点,Z为终点的向量.

能概括一下复数减法几何意义是:两个复数的差zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.

(四)应用举例

在直角坐标系中标Z1(2,5),连接OZ1,向量 1与多数z1对应,标点Z2(3,2),Z2关于x轴对称点Z2(3,2),向量 2与复数对应,连接,向量与的差对应(如图).

例2根据复数的几何意义及向量表示,求复平面内两点间的距离公式.

解:设复平面内的任意两点Z1,Z2分别表示复数z1,z2,那么Z1Z2就是复数对应的向量,点之间的距离就是向量的模,即复数z2z1的模.假如用d表示点Z1,Z2之间的距离,那么d=|z2z1|.

例3 在复平面内,满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么.

(1)|z1i|=|z 2 i|;

方程左式可以看成|z(1 i)|,是复数Z与复数1 i差的模.

几何意义是是动点Z与定点(1,1)间的距离.方程右式也可以写成|z(2i)|,是复数z与复数2i差的模,也就是动点Z与定点(2,1)间距离.这个方程表示的是到两点( 1,1),(2,1)距离相等的点的轨迹方程,这个动点轨迹是以点( 1,1),(2,1)为端点的线段的垂直平分线.

(2)|z i| |zi|=4;

方程可以看成|z(i)| |zi|=4,表示的是到两个定点(0,1)和(0,1)距离和等于4的动点轨迹.满足方程的动点轨迹是椭圆.

(3)|z 2||z2|=1.

这个方程可以写成|z(2)||z2|=1,所以表示到两个定点(2,0),(2,0)距离差等于1的点的轨迹,这个轨迹是双曲线.是双曲线右支.

由z1z2几何意义,将z1z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1z2|,由此得到线段垂直平分线,椭圆、双曲线等复数方程.使有些曲线方程形式变得更为简捷.且反映曲线的本质特征.

例4 设动点Z与复数z= i对应,定点P与复数p= i对应.求

(1)复平面内圆的方程;

解:设定点P为圆心,r为半径,如图

由圆的定义,得复平面内圆的方程|zp|=r.

(2)复平面内满足不等式|zp|解:复平面内满足不等式|zp|(五)小结

我们通过推导得到复数减法法则,并进一步得到了复数减法几何意义,应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式,可以用复数研究解析几何问题,不等式以及最值问题.

(六)布置作业P193习题二十七:2,3,8,9.

探究活动

复数等式的几何意义

复数等式 在复平面上表示以 为圆心,以1为半径的圆。请再举三个复数等式并说明它们在复平面上的几何意义。

分析与解

1. 复数等式 在复平面上表示线段 的中垂线。

2. 复数等式 在复平面上表示一个椭圆。

3. 复数等式 在复平面上表示一条线段。

4. 复数等式 在复平面上表示双曲线的一支。

5. 复数等式 在复平面上表示原点为O、 构成一个矩形。

说明复数与复平面上的点有一一对应的关系,假如我们对复数的代数形式工(几何意义)之间的关系比较熟悉的话,必然会强化对复数知识的把握。

复数常用公式第 4 篇

一． 复数

1.（1）复数的单位为i，它的平方等于－1，即i2??1.

（2）复数及其相关概念：

复数—>形如a + bi的数（其中a，b?R）；

实数—>当b = 0时的复数a + bi，即a；

虚数—>当b?0时的复数a + bi；

纯虚数—>当a = 0且b?0时的复数a + bi，即bi.

复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）

2、复数的四则运算

若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，

（1）加法：z1+z2=（a1+a2）+（b1+b2）i；

（2）减法：z1－z2=（a1－a2）+（b1－b2）i；

（3）乘法：z1·z2=（a1a2－b1b2）+（a1b2+a2b1）i；

（4）除法：z1(a1a2?b1b2)?(a2b1?a1b2)i； ?z2a22?b22

（5）四则运算的交换率、结合率、分配率都适合于复数的情况。

3、共轭复数与复数的模的几何意义

（1）若z=a+bi，则?a?bi，z?为实数，z?为纯虚数（b≠0）.

（2）复数z=a+bi的模，|z

且z??|z|2=a2+b2.

注：复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。

复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若

b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。

二． 数列

1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一

个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表

示。

用递推公式表示为an?an?1?d(n?2)或an?1?an?d(n?1)。

2、等差数列的通项公式：an?a1?(n?1)d；

3、等差中项的概念：

定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中A?a?b2

a，A，b成等差数列?A?a?b。 2

4、等差数列的前n和的求和公式：Sn?

5、等差数列的性质： n(a1?an)n(n?1)?na1?d。 22

（1）在等差数列?an?中，对任意m，n?N?，an?am?(n?m)d；

（2）在等差数列?an?中，若m，n，p，q?N?且m?n?p?q，则am?an?ap?aq； 说明：设数列{an}是等差数列，且公差为d，

1．等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这．．．．．．

个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q?0)，即：an?1：an?q(q?0)

2．等比数列通项公式为：an?a1?qn?1(a1?q?0)。

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比q=1时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{an}为等比数列，则am?qm?n。 an

3．等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

4．等比数列前n项和公式

一般地，设等比数列a1,a2,a3,?,an,?的前n项和是Sn?a1?a2?a3???an，当q?1

a1(1?qn)a?anq时，Sn? 或Sn?1；当q=1时，Sn?na1（错位相减法）。 1?q1?q

n说明：（1）（2）注意求和公式中是q，a1,q,n,Sn和a1,an,q,Sn各已知三个可求第四个；

通项公式中是q不要混淆；（3）应用求和公式时q?1，必要时应讨论q?1的情况。

5．等比数列的性质

①等比数列任意两项间的关系：如果ann项，am是等差数列的第m项，且②对于等比数列?an?，若n?m?u?v，则an?am?au?av;

③若数列?an?Sn是其前n项的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比数列。

n?1m?nq，则有an?amqn?m； 三． 立体几何

立体几何公式

柱锥台的表面积计算公式：

圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S圆柱侧=2?rl，S圆柱表=2?r(r?l)，其中为r圆柱底面半径，l为母线长。

圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为???3600，S圆锥侧=?rl， S圆锥表=?r(r?l)，其

中为r圆锥底面半径，l为母线长。

圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为??

S圆台表=?(r2?rl?Rl?R2).

rlR?r?3600，Sl圆台侧=?(r?R)l，

柱，锥，台的体积计算公式

1.根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式

柱体体积计算公式：V柱?Sh （S为底面面积，h为柱体的高）→V圆柱?Sh??r2h

2. 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式：给出锥体的体积计算公式：

1V锥?Sh S为底面面积，h为高） 3

3.台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高：给出台体的体积公式

：V台?(S'S)h （S，S分别上、下底面积，h为高）

13'

11V圆台?(S'S)h??(r2?rR?R2)h （r、R分别为圆台上底、下底半径） 33

?球的表面积为4?R2

4V??R3 球的体积为3

四． 统计

样本方差：s2=1/n[(x1-x￣)2+(x2-x￣)2+...+(xn-x￣)2] ；

看例题，理解方差、中位数、众数

例.某生产车间将10个零件的尺寸(单位：cm)用右面的茎叶图的方式记录下来，则它们的平均值和中位数分别是________，________.

解析：10个零件的尺寸数据如下：14,19,21,22,25,37,39,40,41,42，则平均数为30，中位数为31.

答案：30 31

例．(2010·福州模拟)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的5次预赛成绩记录如下：

甲 82 82 79 95 87

乙 95 75 80 90 85

(1)用茎叶图表示这两组数据；

(2)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；

(3)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．

解：(1)作出茎叶图如下：

(2)记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，用数对(x，y)表示基本事件： (82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，

(82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，

(79,95)，(79,75)，(79,80)，(79,90)，(79,85)，

(95,95)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，

(87,95)，(87,75)，(87,80)，(87,90)，(87,85)．

基本事件总数n＝25.

记“甲的成绩比乙高”为事件A，事件A包含的基本事件：

(82,75)，(82,80)，(82,75)，(82,80)，(79,75)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，(87,75)，(87,80)，(87,85)．

事件A包含的基本事件数m＝12.

m12所以P(A)＝n25

(3)派甲参赛比较合适．理由如下： x甲＝(70×1＋80×3＋90×1＋9＋2＋2＋7＋5)＝85， x乙＝(70×1＋80×2＋90×2＋5＋0＋5＋0＋5)＝85，

222222＝[(79－85)＋(82－85)＋(82－85)＋(87－85)＋(95－85)]＝31.6， S甲515151222222＝－85)＋(80－85)＋(85－85)＋(90－85)＋(95－85)]＝50. S乙51∵x甲＝x乙，S甲＜S乙，（注意：方差计算公式）

∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．

22